【等比級(jí)數(shù)求和公式】等比級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)中一種重要的數(shù)列形式，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、工程等多個(gè)領(lǐng)域。等比級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之間存在一個(gè)固定的比值，稱為公比。掌握等比級(jí)數(shù)的求和公式對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。

一、等比級(jí)數(shù)的基本概念

等比數(shù)列是指從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)乘以一個(gè)固定常數(shù)（即公比）的數(shù)列。設(shè)首項(xiàng)為 $ a $，公比為 $ r $，則等比數(shù)列的一般形式為：

$$

a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1}

$$

若該數(shù)列有 $ n $ 項(xiàng)，則稱為有限等比數(shù)列；若無(wú)限延續(xù)下去，則稱為無(wú)限等比數(shù)列。

二、等比級(jí)數(shù)的求和公式

1. 有限等比數(shù)列求和公式

對(duì)于前 $ n $ 項(xiàng)的等比數(shù)列，其和 $ S_n $ 可由以下公式計(jì)算：

$$

S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

其中：

- $ a $ 是首項(xiàng)；

- $ r $ 是公比；

- $ n $ 是項(xiàng)數(shù)。

2. 無(wú)限等比數(shù)列求和公式

當(dāng) $ r < 1 $ 時(shí)，無(wú)限等比數(shù)列的和收斂于一個(gè)有限值，其公式為：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

此時(shí)，隨著項(xiàng)數(shù)趨于無(wú)窮大，數(shù)列的末項(xiàng)趨近于零，因此可以求得總和。

三、常見(jiàn)情況對(duì)比表

四、應(yīng)用舉例

例1：有限等比數(shù)列求和

已知首項(xiàng) $ a = 3 $，公比 $ r = 2 $，項(xiàng)數(shù) $ n = 5 $，求其和。

$$

S_5 = 3 \times \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \times \frac{1 - 32}{-1} = 3 \times 31 = 93

$$

例2：無(wú)限等比數(shù)列求和

已知首項(xiàng) $ a = 1 $，公比 $ r = \frac{1}{2} $，求其和。

$$

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

$$

五、總結(jié)

等比級(jí)數(shù)的求和公式是處理幾何序列問(wèn)題的重要工具。根據(jù)數(shù)列是否有限以及公比的大小，選擇合適的公式進(jìn)行計(jì)算。理解并熟練運(yùn)用這些公式，有助于在實(shí)際問(wèn)題中快速求解相關(guān)數(shù)值，提高數(shù)學(xué)分析能力。

通過(guò)以上內(nèi)容的整理與分析，我們可以清晰地掌握等比級(jí)數(shù)的求和方法，并在不同情境下靈活應(yīng)用。