在高等數學中，冪指函數是一種既包含冪運算又包含指數運算的復合函數，其形式一般為 \( y = f(x)^{g(x)} \)，其中 \( f(x) > 0 \) 且 \( f(x) \neq 1 \)。這類函數在實際問題中有著廣泛的應用，比如經濟學中的復利計算、物理學中的衰變模型等。
冪指函數導數的求法
對于冪指函數 \( y = f(x)^{g(x)} \)，為了方便求導，我們通常采用對數變換的方法：
1. 取自然對數：\( \ln(y) = g(x) \cdot \ln(f(x)) \)
2. 對兩邊同時關于 \( x \) 求導：
\[
\frac{1}{y} \cdot y' = g'(x) \cdot \ln(f(x)) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}
\]
3. 將 \( y = f(x)^{g(x)} \) 代入，得到：
\[
y' = f(x)^{g(x)} \left[ g'(x) \cdot \ln(f(x)) + g(x) \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \right]
\]
應用舉例
例題1：計算 \( y = x^{\sin(x)} \) 的導數
解：令 \( f(x) = x \)，\( g(x) = \sin(x) \)，則 \( y = f(x)^{g(x)} = x^{\sin(x)} \)。
1. 求 \( f'(x) \) 和 \( g'(x) \):
\[
f'(x) = 1, \quad g'(x) = \cos(x)
\]
2. 帶入公式：
\[
y' = x^{\sin(x)} \left[ \cos(x) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x} \right]
\]
因此，\( y' = x^{\sin(x)} \left[ \cos(x) \ln(x) + \frac{\sin(x)}{x} \right] \)。
例題2：計算 \( y = (e^x)^x \) 的導數
解：令 \( f(x) = e^x \)，\( g(x) = x \)，則 \( y = f(x)^{g(x)} = (e^x)^x \)。
1. 求 \( f'(x) \) 和 \( g'(x) \):
\[
f'(x) = e^x, \quad g'(x) = 1
\]
2. 帶入公式：
\[
y' = (e^x)^x \left[ 1 \cdot \ln(e^x) + x \cdot \frac{e^x}{e^x} \right]
\]
\[
y' = (e^x)^x \left[ x + x \right] = 2x(e^x)^x
\]
因此，\( y' = 2x(e^x)^x \)。
通過上述例子可以看出，冪指函數的導數計算雖然稍顯復雜，但只要掌握了正確的求導方法和技巧，就能夠順利解決相關問題。希望這些例子能幫助大家更好地理解和掌握冪指函數導數的計算方法。
