在數學的學習過程中，泰勒展開公式是一個非常重要的工具，它能夠幫助我們用多項式來近似表示復雜的函數。尤其是在高中階段，掌握一些常見的泰勒展開公式，不僅能夠簡化計算過程，還能為后續學習高等數學打下堅實的基礎。以下是高中階段常用的十個泰勒展開公式：
1. 指數函數的泰勒展開
\[
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\]
2. 自然對數的泰勒展開（當 \(|x| < 1\)）
\[
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots
\]
3. 正弦函數的泰勒展開
\[
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
\]
4. 余弦函數的泰勒展開
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
\]
5. 反正切函數的泰勒展開（當 \(|x| \leq 1\)）
\[
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
\]
6. 平方根的泰勒展開（當 \(|x| < 1\)）
\[
\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots
\]
7. 對數函數的泰勒展開（當 \(0 < x \leq 2\)）
\[
\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots\right)
\]
8. 雙曲正弦函數的泰勒展開
\[
\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots
\]
9. 雙曲余弦函數的泰勒展開
\[
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots
\]
10. 反正弦函數的泰勒展開（當 \(|x| \leq 1\)）
\[
\arcsin x = x + \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot\frac{x^5}{5} + \cdots
\]
這些公式在處理函數的近似值、極限問題以及微積分中都有著廣泛的應用。熟練掌握它們，不僅能提高解題效率，還能加深對數學本質的理解。希望同學們在學習的過程中多加練習，靈活運用這些公式，為未來的數學學習奠定扎實的基礎！
