【韋達定理推理全過】韋達定理是代數學中一個非常重要的定理，主要用于二次方程的根與系數之間的關系。它由法國數學家弗朗索瓦·韋達（Fran?ois Viète）提出，因此得名。本文將對韋達定理的推理過程進行系統總結，并通過表格形式清晰展示其核心內容。

一、韋達定理的基本內容

對于一般的二次方程：

$$

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

$$

設其兩個實數根為 $x_1$ 和 $x_2$，則根據韋達定理，有以下關系成立：

- 根的和：

$$

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

$$

- 根的積：

$$

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

$$

這些關系在解題過程中非常有用，尤其是在不需要直接求出根的情況下，可以通過系數快速判斷根的性質。

二、韋達定理的推理過程

1. 從求根公式出發

二次方程的求根公式為：

$$

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

設兩個根分別為：

$$

x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$$

2. 計算根的和

$$

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

= \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}

$$

3. 計算根的積

$$

x_1 \cdot x_2 = \left( \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \cdot \left( \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right)

$$

利用平方差公式：

$$

= \frac{(-b)^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{(2a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

$$

三、韋達定理的應用與意義

四、總結

韋達定理是連接二次方程系數與根之間關系的重要工具。通過對根的和與積的推導，可以更深入地理解二次方程的結構和性質。掌握這一定理不僅有助于簡化計算，還能提高解題效率，在代數學習中具有廣泛的應用價值。

附表：韋達定理核心公式總結