【常用函數(shù)的傅里葉變換公式表】在信號(hào)處理、通信系統(tǒng)和物理科學(xué)中，傅里葉變換是一種非常重要的數(shù)學(xué)工具。它能夠?qū)r(shí)域中的信號(hào)轉(zhuǎn)換為頻域表示，從而幫助我們更直觀地分析信號(hào)的頻率特性。為了方便學(xué)習(xí)與應(yīng)用，以下總結(jié)了一些常見函數(shù)的傅里葉變換公式，并以表格形式呈現(xiàn)。
一、傅里葉變換基本概念簡(jiǎn)述
傅里葉變換（Fourier Transform）是將一個(gè)時(shí)間函數(shù) $ f(t) $ 轉(zhuǎn)換為頻率函數(shù) $ F(\omega) $ 的過(guò)程，其定義如下：
$$
F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt
$$
而逆傅里葉變換則為：
$$
f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega
$$
二、常用函數(shù)的傅里葉變換公式表
| 函數(shù) $ f(t) $ | 傅里葉變換 $ F(\omega) $ | 說(shuō)明 | ||
| $ \delta(t) $ | $ 1 $ | 沖激函數(shù)的傅里葉變換為常數(shù) | ||
| $ 1 $ | $ 2\pi \delta(\omega) $ | 常數(shù)函數(shù)的傅里葉變換為沖激函數(shù) | ||
| $ e^{j\omega_0 t} $ | $ 2\pi \delta(\omega - \omega_0) $ | 復(fù)指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換為沖激函數(shù) | ||
| $ \cos(\omega_0 t) $ | $ \pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)] $ | 余弦函數(shù)的傅里葉變換為兩個(gè)沖激函數(shù)之和 | ||
| $ \sin(\omega_0 t) $ | $ j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)] $ | 正弦函數(shù)的傅里葉變換為兩個(gè)沖激函數(shù)之差 | ||
| $ \text{rect}(t) $ | $ \text{sinc}\left( \frac{\omega}{2} \right) $ | 矩形脈沖函數(shù)的傅里葉變換為辛克函數(shù) | ||
| $ \text{tri}(t) $ | $ \text{sinc}^2\left( \frac{\omega}{2} \right) $ | 三角脈沖函數(shù)的傅里葉變換為辛克函數(shù)的平方 | ||
| $ e^{-a | t | } $ (a > 0) | $ \frac{2a}{a^2 + \omega^2} $ | 雙邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換為有理函數(shù) |
| $ e^{-at} u(t) $ (a > 0) | $ \frac{1}{a + j\omega} $ | 單邊指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換為復(fù)數(shù)表達(dá)式 | ||
| $ \text{sgn}(t) $ | $ \frac{2}{j\omega} $ | 階躍函數(shù)的奇偶性分解后的傅里葉變換 |
三、總結(jié)
上述表格列出了在工程與科學(xué)研究中常見的函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換結(jié)果。這些公式不僅有助于理解信號(hào)的頻域特性，也為實(shí)際系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析提供了理論基礎(chǔ)。掌握這些基本變換關(guān)系，可以大大提高對(duì)信號(hào)處理問(wèn)題的理解與解決能力。
在使用過(guò)程中，還需注意傅里葉變換的收斂條件、對(duì)稱性以及尺度變換等性質(zhì)，以便更靈活地應(yīng)用于不同的場(chǎng)景中。
