【反證法例題】在數學中，反證法是一種常用的證明方法。它通過假設命題的否定成立，然后推導出矛盾，從而證明原命題為真。反證法常用于無法直接證明的命題，尤其在數論、幾何和邏輯學中應用廣泛。
以下是一些經典的反證法例題及其解答，以加表格的形式展示答案。
一、例題1：證明√2是無理數
題目描述：
證明√2不是有理數。
解題思路：
假設√2是有理數，即存在互質整數a和b（b≠0），使得√2 = a/b。根據平方運算可得：2 = a2/b2 → a2 = 2b2。由此可知a2是偶數，因此a也是偶數。設a=2k，則代入得(2k)2 = 2b2 → 4k2 = 2b2 → b2 = 2k2，說明b也是偶數。這與a和b互質矛盾，因此假設不成立，√2是無理數。
二、例題2：證明素數有無窮多個
題目描述：
證明素數的數量是無限的。
解題思路：
假設素數只有有限個，記為p?, p?, ..., p?。構造一個數N = p?p?...p? + 1。如果N是素數，則它不在原來的列表中；如果N是合數，則它必須有一個素因數，但這個素因數也不能是p?到p?中的任何一個，因為除以它們都會余1。因此，無論哪種情況都與“素數只有有限個”矛盾，故素數有無窮多個。
三、例題3：證明方程x2 + y2 = 3z2沒有非零整數解
題目描述：
證明方程x2 + y2 = 3z2沒有非零整數解。
解題思路：
假設存在非零整數x, y, z滿足方程。考慮模3的情況，x2和y2只能是0或1（mod 3）。若x2 + y2 ≡ 0 (mod 3)，則x和y都必須是3的倍數。設x=3a，y=3b，代入得9a2 + 9b2 = 3z2 → 3(a2 + b2) = z2 → z2是3的倍數，故z也是3的倍數。令z=3c，得到a2 + b2 = 3c2，重復此過程可無限下去，導致x, y, z都是3的倍數，矛盾。因此原方程無非零整數解。
四、例題4：證明三角形內角和大于180度（非歐幾何）
題目描述：
在非歐幾何中，證明三角形的內角和大于180度。
解題思路：
在歐幾里得幾何中，三角形內角和等于180度。假設在某種非歐幾何中，三角形內角和等于或小于180度，那么該幾何就退化為歐幾里得幾何，與非歐幾何的定義矛盾。因此，非歐幾何中三角形的內角和必須大于180度。
五、例題5：證明存在無限多個素數形式為4n+3
題目描述：
證明存在無限多個素數，其形式為4n+3。
解題思路：
假設只有有限個這樣的素數，記為p?, p?, ..., p?。構造數N = 4p?p?...p? - 1。若N是素數，則它形式為4k+3，且不在原列表中；若N是合數，則它的素因數也必須是4k+3的形式，否則會與N≡-1 (mod 4) 矛盾。因此，必然存在新的素數形式為4k+3，與假設矛盾。
表格總結
| 例題編號 | 題目描述 | 解題思路簡述 | 結論 |
| 1 | 證明√2是無理數 | 假設√2為有理數，推出矛盾 | √2是無理數 |
| 2 | 證明素數有無窮多個 | 假設素數有限，構造新數 | 素數有無窮多個 |
| 3 | 證明x2 + y2 = 3z2無非零整數解 | 假設存在解，推導出無限遞降 | 無非零整數解 |
| 4 | 證明非歐幾何中三角形內角和大于180度 | 假設等于或小于180度 | 內角和大于180度 |
| 5 | 證明存在無限多個4n+3形式的素數 | 假設有限，構造新數 | 存在無限多個 |
通過以上例題可以看出，反證法的核心在于“假設命題的否定成立”，并通過邏輯推理找到矛盾，從而確認原命題的正確性。這種方法不僅在數學中廣泛應用，也在邏輯推理、哲學論證等領域具有重要價值。
