首先，假設有一條平面上的光滑曲線C，其可以用參數方程表示為x=x(t), y=y(t)，其中t是參數，并且該曲線在區間[a, b]內連續可微。那么，這條曲線上的任意一小段都可以近似看作是一條直線段。根據兩點間距離公式，這段小線段的長度可以表示為sqrt((dx)^2 + (dy)^2)。
接下來，我們將整個曲線分成無數個這樣的小段，然后將所有這些小段的長度加起來，就得到了整條曲線的總長度。這就是積分思想的應用。因此，曲線C的弧長L可以表示為積分形式：
\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2} dt \]
進一步地，利用鏈式法則，我們可以將上述積分表達式改寫成更常見的形式：
\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx \]
這就是平面直角坐標系下曲線弧長的計算公式。它描述了如何通過微分的方法來求解曲線的長度問題。
需要注意的是，這里的推導過程基于曲線的連續性和可微性條件。對于某些特殊類型的曲線或者更高維度的空間曲線，可能需要采用不同的方法來進行處理。此外，在實際應用中，有時還需要考慮曲線的方向以及是否閉合等因素對結果的影響。
總之，通過對微積分基本原理的理解與運用，我們能夠建立起這樣一個簡潔而強大的工具——即用于衡量曲線長度的弧長公式。這不僅幫助我們在理論上解決了這個問題，也為解決實際工程和技術領域中的相關問題提供了強有力的理論支持。
