在概率論與數理統計中，泊松分布是一種重要的離散型概率分布。它通常用于描述單位時間內隨機事件發生的次數，例如某電話交換機在一分鐘內接到的呼叫次數，或者某一地區一天內發生交通事故的次數等。

泊松分布的概率質量函數（Probability Mass Function, PMF）可以表示為：

\[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

其中：

- \( X \) 是隨機變量，代表事件發生的次數；

- \( k \) 是非負整數，表示事件發生的具體次數；

- \( \lambda \) 是事件的平均發生率；

- \( e \) 是自然對數的底，約等于 2.71828。

這個公式的推導基于假設條件：事件的發生是獨立且均勻分布的，并且在極小的時間間隔內事件最多只會發生一次。

泊松分布的一個重要特性是其均值和方差相等，都等于參數 \( \lambda \)。這意味著如果已知某事件平均每小時發生5次，則該事件每小時實際發生的次數的標準差也為 \( \sqrt{5} \)。

此外，在實際應用中，當二項分布中的試驗次數 \( n \) 趨向于無窮大而成功概率 \( p \) 趨向于零時，只要 \( np = \lambda \) 保持不變，那么二項分布就可以近似為泊松分布。這種近似方法簡化了許多復雜問題的計算過程。

泊松分布廣泛應用于質量管理、生物學、醫學研究等領域。例如，在工業生產過程中，它可以用來預測缺陷產品的數量；在醫療領域，可用于估計某種疾病在一個特定區域內的發病率。

總之，泊松分布以其簡潔優雅的形式和強大的適用性成為統計學中不可或缺的一部分。理解和掌握這一分布有助于我們更好地分析和解決現實世界中的各種不確定性問題。