【二次函數兩個根的和與差】在學習二次函數的過程中，了解其根的性質是非常重要的。二次函數的一般形式為 $ y = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $。當這個函數與 x 軸相交時，所得到的交點即為該方程的根。本文將總結二次函數兩個根的和與差的相關知識，并通過表格形式進行清晰展示。
一、根的定義
對于二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其解（即根）可以通過求根公式得出：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
這兩個根分別記作 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，它們的和與差是研究二次函數性質的重要工具。
二、根的和與差的公式
根據韋達定理，二次方程的兩個根滿足以下關系：
- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{a} $
- 根的差：$
這些公式可以幫助我們快速判斷根的分布情況，而無需實際計算每個根的值。
三、總結與對比
下面是一個關于二次函數兩個根的和與差的總結表格，便于理解與記憶：
| 項目 | 公式 | 說明 | ||
| 根的和 | $ x_1 + x_2 = -\frac{a} $ | 根的和等于系數 $ b $ 與 $ a $ 的比值的相反數 | ||
| 根的差絕對值 | $ | x_1 - x_2 | = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a} $ | 差值的絕對值由判別式決定，反映根的分離程度 |
| 判別式 | $ \Delta = b^2 - 4ac $ | 決定根的個數和類型 |
四、應用舉例
以方程 $ 2x^2 - 4x - 6 = 0 $ 為例：
- $ a = 2 $, $ b = -4 $, $ c = -6 $
- 根的和：$ x_1 + x_2 = -\frac{-4}{2} = 2 $
- 根的差：$
這表明該方程有兩個實數根，且它們的差為 4。
五、小結
掌握二次函數兩個根的和與差，有助于更深入地理解二次方程的性質。通過韋達定理和判別式的結合使用，可以快速分析根的情況，提高解題效率。希望本文能幫助讀者更好地理解和運用這些數學知識。
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