【泰勒公式常用展開式】泰勒公式是數學分析中的一個重要工具，用于將一個光滑函數在某一點附近用多項式形式進行近似表示。這種展開方式不僅有助于理解函數的局部行為，還在數值計算、物理建模和工程應用中有著廣泛的應用。本文將總結常見的泰勒展開式，并以表格形式呈現，便于查閱與記憶。
一、泰勒公式簡介
泰勒公式的基本思想是：如果一個函數 $ f(x) $ 在點 $ x = a $ 處具有任意階導數，則可以將其表示為以下形式：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
其中，$ f^{(n)}(a) $ 表示函數在 $ a $ 點的第 $ n $ 階導數。當 $ a = 0 $ 時，該展開稱為麥克勞林公式。
二、常用函數的泰勒展開式（以 $ x = 0 $ 為中心）
| 函數 | 泰勒展開式（麥克勞林級數） | 收斂區間 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ (-1, 1] $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ [-1, 1] $ | ||
| $ \frac{1}{1-x} $ | $ 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n $ | $ (-1, 1) $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $ |
三、小結
以上是幾種常見的函數在 $ x = 0 $ 處的泰勒展開式，它們在數學分析、微積分以及實際應用中非常有用。掌握這些展開式有助于快速估算函數值、求解極限、分析函數性質等。
需要注意的是，泰勒展開式的收斂性取決于具體函數及其展開點。某些函數可能只在特定區間內有效，因此使用時應結合實際問題判斷適用范圍。
通過表格形式的整理，能夠更直觀地對比不同函數的展開形式，提高學習和應用效率。
