【伴隨矩陣是什么舉例】伴隨矩陣是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，常用于求解矩陣的逆以及在行列式計(jì)算中起到關(guān)鍵作用。本文將簡(jiǎn)要介紹伴隨矩陣的定義，并通過具體例子幫助讀者更好地理解其應(yīng)用。

一、伴隨矩陣的定義

對(duì)于一個(gè) $ n \times n $ 的方陣 $ A $，它的伴隨矩陣（或稱為余子矩陣的轉(zhuǎn)置）記作 $ \text{adj}(A) $，是由 $ A $ 的每個(gè)元素的代數(shù)余子式組成的矩陣的轉(zhuǎn)置。

具體來說：

- 對(duì)于 $ A = [a_{ij}] $，其中 $ a_{ij} $ 是第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素；

- 計(jì)算每個(gè)元素 $ a_{ij} $ 的代數(shù)余子式 $ C_{ij} $；

- 構(gòu)造矩陣 $ C = [C_{ij}] $；

- 最后，將該矩陣轉(zhuǎn)置，得到伴隨矩陣 $ \text{adj}(A) = C^T $。

二、伴隨矩陣的性質(zhì)

1. $ A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I $

2. 如果 $ \det(A) \neq 0 $，則 $ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) $

三、伴隨矩陣舉例

以下是一個(gè) $ 2 \times 2 $ 矩陣的伴隨矩陣計(jì)算示例：

示例1：

設(shè)矩陣

$$

A = \begin{bmatrix}

1 & 2 \\

3 & 4

\end{bmatrix}

$$

計(jì)算其伴隨矩陣：

1. 計(jì)算每個(gè)元素的代數(shù)余子式：

- $ C_{11} = +\det\begin{bmatrix}4\end{bmatrix} = 4 $

- $ C_{12} = -\det\begin{bmatrix}3\end{bmatrix} = -3 $

- $ C_{21} = -\det\begin{bmatrix}2\end{bmatrix} = -2 $

- $ C_{22} = +\det\begin{bmatrix}1\end{bmatrix} = 1 $

2. 構(gòu)造余子矩陣：

$$

C = \begin{bmatrix}

4 & -3 \\

-2 & 1

\end{bmatrix}

$$

3. 轉(zhuǎn)置得到伴隨矩陣：

$$

\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}

4 & -2 \\

-3 & 1

\end{bmatrix}

$$

四、總結(jié)與表格對(duì)比

五、小結(jié)

伴隨矩陣是求矩陣逆的重要工具，尤其在 $ \det(A) \neq 0 $ 的情況下，可以用來直接計(jì)算逆矩陣。通過代數(shù)余子式的計(jì)算和轉(zhuǎn)置操作，我們可以得到伴隨矩陣，從而進(jìn)一步進(jìn)行更復(fù)雜的矩陣運(yùn)算。