【三角函數公式】三角函數是數學中非常重要的一類函數，廣泛應用于幾何、物理、工程等多個領域。它們描述了直角三角形邊與角之間的關系，同時也適用于單位圓和周期性現象的分析。本文將對常見的三角函數公式進行總結，并以表格形式呈現，便于查閱和理解。
一、基本三角函數定義
在直角三角形中，設一個銳角為θ，其對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則有以下基本定義：
| 函數名稱 | 定義式 | 說明 |
| 正弦 | sinθ = a/c | 對邊與斜邊的比值 |
| 余弦 | cosθ = b/c | 鄰邊與斜邊的比值 |
| 正切 | tanθ = a/b | 對邊與鄰邊的比值 |
| 余切 | cotθ = b/a | 鄰邊與對邊的比值 |
| 正割 | secθ = c/b | 斜邊與鄰邊的比值 |
| 余割 | cscθ = c/a | 斜邊與對邊的比值 |
二、常用三角恒等式
三角函數之間存在許多重要的恒等關系，這些關系在解題過程中非常有用。
| 恒等式名稱 | 公式 | 說明 |
| 倒數關系 | sinθ = 1/cscθ cosθ = 1/secθ tanθ = 1/cotθ | 各函數與其倒數的關系 |
| 商數關系 | tanθ = sinθ / cosθ cotθ = cosθ / sinθ | 正切與正弦、余弦的關系 |
| 平方關系 | sin2θ + cos2θ = 1 1 + tan2θ = sec2θ 1 + cot2θ = csc2θ | 基本的平方恒等式 |
| 互補角公式 | sin(90° - θ) = cosθ cos(90° - θ) = sinθ | 互余角之間的關系 |
| 周期性公式 | sin(θ + 360°) = sinθ cos(θ + 360°) = cosθ | 三角函數的周期性 |
三、和差角公式
用于計算兩個角度之和或差的三角函數值。
| 公式名稱 | 公式 | 說明 |
| 正弦和差公式 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB | 計算sin(A ± B) |
| 余弦和差公式 | cos(A ± B) = cosA cosB ? sinA sinB | 計算cos(A ± B) |
| 正切和差公式 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ? tanA tanB) | 計算tan(A ± B) |
四、倍角公式
用于計算一個角的兩倍或三倍的三角函數值。
| 公式名稱 | 公式 | 說明 |
| 正弦倍角公式 | sin2θ = 2sinθ cosθ | 2θ的正弦值 |
| 余弦倍角公式 | cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1 = 1 - 2sin2θ | 2θ的余弦值 |
| 正切倍角公式 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan2θ) | 2θ的正切值 |
五、半角公式
用于計算一個角的一半的三角函數值。
| 公式名稱 | 公式 | 說明 |
| 正弦半角公式 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] | θ/2的正弦值 |
| 余弦半角公式 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] | θ/2的余弦值 |
| 正切半角公式 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] | θ/2的正切值 |
六、積化和差與和差化積公式（選學）
這些公式常用于簡化復雜的三角表達式。
| 公式名稱 | 公式 | 說明 |
| 積化和差公式 | sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)]/2 | 將乘積轉化為和差 |
| cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2 | ||
| sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)]/2 | ||
| 和差化積公式 | sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | 將和差轉化為乘積 |
| sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] | ||
| cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] | ||
| cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
通過以上內容，可以系統地掌握三角函數的基本公式及其應用方法。在實際問題中，合理運用這些公式能夠大大簡化計算過程，提高解題效率。
