【三角函數公式大全】在數學中，三角函數是研究三角形邊角關系的重要工具，廣泛應用于幾何、物理、工程、計算機圖形學等多個領域。掌握常見的三角函數公式，有助于提高解題效率和理解能力。本文將對常用的三角函數公式進行系統總結，并通過表格形式直觀展示。
一、基本三角函數定義
設一個直角三角形中，角θ的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則：
| 函數名稱 | 定義式 |
| 正弦 | sinθ = a/c |
| 余弦 | cosθ = b/c |
| 正切 | tanθ = a/b |
| 余切 | cotθ = b/a |
| 正割 | secθ = c/b |
| 余割 | cscθ = c/a |
二、三角函數的基本關系
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 倒數關系 | sinθ = 1/cscθ, cosθ = 1/secθ, tanθ = 1/cotθ |
| 商數關系 | tanθ = sinθ / cosθ, cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方關系 | sin2θ + cos2θ = 1 |
| 1 + tan2θ = sec2θ | |
| 1 + cot2θ = csc2θ |
三、誘導公式（角度變換）
| 角度變換 | 對應的三角函數值 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(π + θ) | -sinθ |
| cos(π + θ) | -cosθ |
| sin(2π - θ) | -sinθ |
| cos(2π - θ) | cosθ |
四、和差角公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦和差 | sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB |
| 余弦和差 | cos(A ± B) = cosA cosB ? sinA sinB |
| 正切和差 | tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ? tanA tanB) |
五、倍角公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦倍角 | sin2θ = 2sinθ cosθ |
| 余弦倍角 | cos2θ = cos2θ - sin2θ = 2cos2θ - 1 = 1 - 2sin2θ |
| 正切倍角 | tan2θ = 2tanθ / (1 - tan2θ) |
六、半角公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| 正弦半角 | sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2] |
| 余弦半角 | cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2] |
| 正切半角 | tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = (sinθ)/(1 + cosθ) |
七、積化和差公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| sinA cosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosA sinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosA cosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinA sinB | -[cos(A+B) - cos(A-B)] / 2 |
八、和差化積公式
| 公式名稱 | 公式表達式 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
九、反三角函數基礎公式（部分）
| 函數名稱 | 表達式 |
| arcsin(x) + arccos(x) | π/2 |
| arctan(x) + arctan(1/x) | π/2 （x > 0） |
| arctan(x) + arctan(y) | arctan[(x + y)/(1 - xy)]（xy < 1） |
十、常用特殊角的三角函數值
| 角度（弧度） | sinθ | cosθ | tanθ |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| π/6 | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| π/4 | √2/2 | √2/2 | 1 |
| π/3 | √3/2 | 1/2 | √3 |
| π/2 | 1 | 0 | 不存在 |
結語
三角函數公式繁多，但掌握其基本規律與常見公式，能夠幫助我們在學習和應用中更加得心應手。建議結合圖形理解函數的變化趨勢，并通過練習不斷鞏固記憶。希望本文能為您的學習提供參考和幫助。
