在概率論與統計學中，均勻分布是一種非常基礎且重要的連續概率分布。它描述了一種隨機變量在某個區間內取值的概率是相等的情況。均勻分布廣泛應用于模擬、實驗設計以及各種隨機過程建模中。
假設隨機變量X服從[a, b]區間的均勻分布，記作X ~ U(a, b)，其概率密度函數（PDF）定義如下：
\[ f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{b-a}, & \text{當 } a \leq x \leq b \\
0, & \text{其他情況}
\end{cases} \]
從上述定義可以看出，均勻分布的PDF在整個定義區間[a, b]上是一個常數，即 \(\frac{1}{b-a}\)，這表明在這個區間內任何一點出現的概率都是相同的。而在區間外，PDF值為零，表示這些點不可能發生。
均勻分布的一個重要特性是它的累積分布函數（CDF），它是PDF的積分結果。對于[a, b]上的均勻分布，CDF可以表示為：
\[ F(x) =
\begin{cases}
0, & \text{當 } x < a \\
\frac{x-a}{b-a}, & \text{當 } a \leq x \leq b \\
1, & \text{當 } x > b
\end{cases} \]
利用CDF，我們可以方便地計算出隨機變量落在某一特定子區間內的概率。例如，隨機變量X落在[c, d]（其中a ≤ c < d ≤ b）的概率可以通過以下公式得到：
\[ P(c \leq X \leq d) = F(d) - F(c) = \frac{d-c}{b-a} \]
此外，均勻分布還具有無記憶性，這意味著無論過去的狀態如何，未來事件發生的概率不受影響。這一特性使得均勻分布在許多實際問題中有廣泛的應用。
總之，均勻分布作為一種簡單而有效的概率模型，在理論研究和實際應用中都占有重要地位。理解和掌握均勻分布的性質及其相關計算方法，對于深入學習更復雜的概率分布和統計推斷具有重要意義。
